复杂度理解时空和黑洞的新钥匙

“It from bit symbolizes the idea that every item of the physical world has at bottom — a very deep bottom, in most instances — an immaterial source and explanation… In short, that all things physical are information-theoretic in origin and that this is a participatory universe.”

John A. Wheeler, 1990

撰文 | 蔡荣根、阮善明、杨润秋

一、布景：It From Qubit？

物理学是研讨物质和时空的根本结构、相互作用及其运动规则的科学。所以物理学诞生始，物理学家们就一直在尽力寻觅描绘从大到世界、小至微观粒子的根本规则。可是何为“根本”？闻名物理学家约翰·惠勒（John Wheeler）在1990年的一篇文章中[1]提出了一条三字“告诫”——“It From Bit”（万物皆比特） 。这条“告诫”主张咱们从信息理论中提取新的思维，来将广义相对论和量子力学一致起来。

在这之后二十多年的时刻里，这简略而深入的洞见在理论物理学的研讨中展示出越来越多令人惊奇的依据。比特的概念也逐渐地让坐落量子比特（qubit），然后发生了进化版的三字告诫——“It From Qubit”（万物皆量子比特）。2015年，在西蒙斯基金会（Simons Foundation）的赞助下，高能理论物理学家和量子信息学家，这两个一般不会有交集的集体走在了一同， 开端了名为“It From Qubit” 的研讨方案[2]。这儿“It” 能够了解为时空。这个主意暗示时空或许并不是最根本的概念，而是从更为根本的量子比特中出现（emerge）出来的。在这傍边扮演重要人物的是AdS/CFT （anti-de Sitter/Conformal Field Theory）对偶和量子羁绊（quantum entanglement）。

AdS/CFT 对偶描绘了引力理论和量子场论之间的一种对偶联络。它由 Maldacena 于1997年依据超弦理论提出的一个猜测开展而来。简略来说，这个对偶标明一个d维时空的共形场论（CFT）和一个 d+1 维的渐进反德西特（AdS）时空中的引力理论是等价的。这个对偶经过二十多年的开展，现已成为引力理论研讨中一个十分活泼和重要的研讨方向。量子羁绊则是描绘了量子态之间的特别相关性。它是量子体系差异于经典体系的一个重要性质。例如两个量子比特组成的 EPR 态 （也被称作“Bell态”或许“猫态”）

是由两个羁绊在一同的量子比特构成。不管这两个羁绊的量子比特相距多远，咱们一旦知道了其间一个量子比特的状况，另一个量子比特的状况天然就知道了。爱因斯坦将这种“奇特”的现象称为“鬼魂般的超距作用”（“spooky action at a distance”）。

为了定量地描绘量子态中羁绊的强弱，人们引进了“羁绊熵”的概念。羁绊熵与AdS/CFT尽管归于两个彻底不同范畴，可是最近的研讨标明这一对概念蕴含着深入的内在联络。Shinsei Ryū 和 Tadashi Takayanagi 在2006年提出了“全息羁绊熵猜测” [3]。在这个猜测中，d+1 维反德西特时空鸿沟上的子区域 A 的羁绊熵，等于这个子区域延伸到时空内部的最小面的面积（如图1所示）， 亦即：

这儿 GN（N为下标） 是 d+1 维时空中的牛顿引力常数。这样一个公式与黑洞的贝肯斯坦-霍金熵（Bekenstein-Hawking entropy）公式十分相似。

图一：d+1 维反德西特时空的 d 维鸿沟上CFT理论的一个子区域 A 的羁绊熵等于这个子区域延伸到在 d+1 维的时空内部时的最小面的面积。

它不只暗示了时空几许与羁绊熵之间存在相关，而且敞开了“It From Qubit”研讨的大门。根据此研讨，Maldacena 和 Susskind 在2013年协作提出了新的诱人猜测

ER = EPR

其间左面的“ER”是爱因斯坦-罗森桥（Einstein-Rosen bridges）的简称，这儿代指广义相对论中大名鼎鼎的“虫洞”。右边的“EPR”则是 Einstein、Podolsky 和 Rosen 三人称号的缩写，这儿代表量子力学中的量子羁绊。严格地说，这并不是一个数学或许物理方程式。它更像一个标语——着重量子羁绊和时空之间存在着深入的内在联络。假如这种联络存在的话，那么它不只能够天然地把现代物理学的两大柱石——广义相对论和量子力学——联络起来，而且也暗示了量子羁绊在时空结构的出现中扮演了重要人物。

图二：虫洞的艺术图片。衔接左右两个时空的区域便是虫洞，亦即爱因斯坦-罗森桥（ER）。| 图片来自 Tomá Müller for Quanta Magazine

“It From Qubit” 项目的庞大方针是希望能够经过量子信息的概念来了解时空的出现，然后终究经过量子的观念来描绘引力。理论物理学家对这个方针的寻求已近百年。爱因斯坦在发现相对论之后就投入到对这个终究理论的寻求，可是直至他生命的终究也未成功。现在看来，“It From Qubit”尽管离终究的殿堂也还悠远，可是它最大的意义或许在于敞开了许多簇新的、值得寻觅的方向。

二、量子信息：核算杂乱度？

在 Shinsei Ryū 和 Tadashi Takayanagi 指出 AdS/CFT 对偶中时空与羁绊熵的联络之后，全息羁绊熵的研讨在曩昔十几年中一直是高能物理中的抢手研讨方向之一。年已古稀的闻名理论物理学家 Susskind 在2014年发生了不同的主意。Susskind以为，咱们应该在全息时空中或许“It From Qubit”的框架下考虑不同于羁绊熵的概念。他以为一个被称为“杂乱度”的概念便是这样一个候选者。

“杂乱度”这个概念最早来源于核算数学范畴，被用来描写完结算法的难易程度，然后对核算问题进行分类。常用的衡量杂乱度的量有核算所需求的时刻、算法需求的根本运算的数目等。量子电路中，杂乱度则由电路中所含有的根本量子逻辑门（quantum gate）的数量来衡量。

尽管杂乱度的概念来源于核算科学，可是不同于关怀算法的核算科学家，高能物理学家关怀的则是从一个初始量子态 |ΨR（R为下标）> 到方针量子态 |ΨT（T为下标）> 的杂乱度。例如咱们选取 N 个量子比特的简略态

作为初始的量子态。这样的态能够了解成N枚全都是正面向上的硬币组成的态。方针态则是其它或许的杂乱态，如

在将上述初始态转变为方针态的过程中，最简略的根本操作便是回转一个比特的态。显然在这样的设定下，所需最少的根本操作的数目便是方针态中“1”的个数。在量子理论中，纯态之间的转化由幺正的算符U 标明。所以实现从初始态到方针态的转化便是在构建一些特定的幺正改换以满意

“杂乱度”这个概念在量子信息中有着重要的运用。使用它咱们能够研讨量子核算的速度。在量子体系中，信息以“量子比特”的办法储存在一系列量子态中。由于量子核算的速度依赖于单位时刻内能对量子态施行根本操作的数目，所以杂乱度随时刻的改动率正好能够用来描写量子核算的速度。量子信息理论中关于杂乱度的研讨标明，一个均匀能量为 E 的体系每一秒钟最多或许施行 4E/h 次改动体系量子态的操作[4]。这儿h是普朗克常数，约等于 6.63×10^-34J·s。这个上界一般被称作 Lloyd 上限。它给出了在给定能量的体系中量子核算的速度所能到达的上限。

在上面的介绍中，咱们考虑的是离散的、有限自由度体系。可是理论物理学家感爱好的量子场论（QFT）却是一个无量维的接连体系。如何将杂乱度运用到QFT中呢？这时咱们需求凭借黎曼几许[5, 6]——它是研讨广义相对论时的重要数学东西。在黎曼几许中，两点之间间隔最短的连线被称为测地线（geodesic）。例如，平面中的测地线便是直线。在黎曼几许的框架下，咱们能够将初始态和方针态看作态空间中固定的两个端点；两者之间不同的幺正改换则能够由其间的不同曲线标明；曲线的长度则代表了需求的量子门的数量。这样寻觅最优量子电路的问题就转化为寻觅最短途径的问题，亦即求解黎曼几许中测地线的问题。

三、杂乱度与黑洞物理

咱们现已看到“杂乱度”这个概念来源于核算科学和量子信息范畴。那么它为什么会被引进到黑洞物理和 AdS/CFT 对偶的研讨傍边呢？故事还要从上文说到的 Susskind 和 Maldacena 提出的“ER=EPR”猜测以及 AdS/CFT 对偶开端说起。

在一个含有虫洞的渐进AdS时空中，衔接了左右两个时空的爱因斯坦-罗森桥（ER）显著地依赖于黑洞内部的几许，它的体积会在很长的时刻内近乎线性地增加。AdS/CFT对偶奔驰咱们：一个渐进反德西特时空和其鸿沟上的量子场论等价。因而，从AdS/CFT对偶的视点来看，爱因斯坦-罗森桥的演化应该对应于鸿沟上某种物理量的演化。一个看似有道理的主意是，爱因斯坦-罗森桥的演化对应着羁绊熵的演化。不过 Susskind 却提出了不同的观点。

Susskind以为，仅仅用量子羁绊来描绘是不行的（entanglement is not enough! ）[7, 8]。由于羁绊熵仅仅在很短的时刻内增加，并很快到达极值，所以羁绊熵无法表现爱因斯坦-罗森桥体积的改动。Susskind以为核算科学中的“杂乱度”好像正好能够用来描绘爱因斯坦-罗森桥能够在很长时刻近乎线性演化的现象。他与协作者先后提出两个不同版别的猜测，将时空中的几许量和场论的杂乱度联络起来。这两个猜测能够简略地由几个字母标明：

C=V 或许 C=A

它们别离被称为“杂乱度-体积”（Complexity-Volume）猜测[9]和“杂乱度-作用量”（Complexity-Action）猜测[10]。

为了详细介绍这两个猜测，咱们首要需求引进广义相对论中广泛运用的彭罗斯图（Penrose Diagram）。彭罗斯图的根本主意是经过共形（保角）改动将无量远处的点放在有限的区域内。咱们能够经过这种办法完好地标明无量大的时空。在紧缩 d-1 维的空间后，咱们就能够用一个有限的二维图标明整个 d+1 维的时空。如图三所示，在渐进反德西特时空的彭罗斯图中存在两个鸿沟（r=∞处），而且存在两个对称的、平行的世界。在经典图画中，这两个世界仅仅被普通地“堆砌”到了一同，两头并不会发作任何相关。可是 Maldacena 在其一篇论文中指出：关于一个稳态的黑洞来说，左右两个时空是羁绊在一同的[11]！羁绊就像是时空的粘合剂，将时空碎片粘合在一同构成一个完好的时空。从AdS/CFT对偶的视点来看，没有羁绊的时分，左右两个时空对偶的量子态便是左右两个鸿沟上量子态的普通直积。可是实际上由于左右两个世界是羁绊在一同的，因而他们对偶的量子态则是一个特别的羁绊态，一般简称为“TFD态”（thermofield double state）

现在一个天然的问题是：咱们制备这样的TFD态所需求的杂乱度是多少呢？Susskind 猜测，这个杂乱度能够由衔接左右两头的爱因斯坦-罗森桥（亦即图三中绿色的虫洞）的最大体积来标明，

图三：渐进AdS-黑洞时空的彭罗斯图。图中四个区域别离是黑洞、白洞以及两个平行的世界；蓝色的线代表黑洞的鸿沟，即视界；绿色的线代表虫洞，衔接了左右两个世界。

这儿L是一个具有长衡量纲的量。这便是 CV 猜测。在这个猜测中，由于杂乱度直接与爱因斯坦-罗森桥的体积相关，所以它包含了黑洞内部的信息——这正是羁绊熵难以描绘的部分。CV 猜测中的杂乱度和前文中说到的全息羁绊熵相似，他们都是由朴实的几许量来描绘，而且不触及物质相互作用的细节。这使得杂乱度的核算变得相对简略。可是这样一个猜测并不如全息羁绊熵那般“完美”，由于这其间依然包含了恣意性：长衡量纲 L 无法由理论仅有确认。这促进了Susskind 和协作者们更多的考虑，并进一步提出 CA 猜测。在这一版别的猜测中，全息杂乱度不再由虫洞的体积描绘，取而代之的是引力理论的作用量

图四：渐进AdS-黑洞时空的彭罗斯图。图中由赤色类光超曲面围住的区域便是 Wheeler-DeWitt 区。

值得注意的是这儿的作用量并不是整个时空的作用量，而是在一个特别时空区域中的作用量（如图四的赤色区鸿沟内部的区域）。这个区域一般称为 Wheeler-DeWitt 区 （WDW patch）。特别是，根据“杂乱度-作用量”猜测，Susskind 和布朗等人经过考虑全息杂乱度的时刻演化发现，黑洞恰恰能够看作是最快的“量子核算机”——由于渐进反德西特时空中史瓦西黑洞的杂乱度改动的终究速度刚好能够到达前文所说的 Lloyd 上限。

和 CV 猜测比较，CA 中杂乱度不再是简略地由时空的几许给出，而是直接包含了物质相互作用的细节。别的它不只触及到黑洞的内部信息，还触及到奇点邻近的性质和时空全体的因果结构。从表面上看，CA 猜测不像 CV 猜测那样存在恣意挑选的长度标准。这个特色曾是 CA 猜测比 CV 猜测更受喜爱的一个原因。可是最近更为详尽地研讨却发现，现实并非如此简略。由于 WDW-patch 含有类光鸿沟，咱们恰恰又需求引进一个恣意的长度标准 L 以坚持作用量在类光面上的“重参数化不变性”[12]。因而在CA猜测中仍旧不可避免地存在着恣意性。现在关于这两个猜测自身的性质以及它们是否真的能够描绘 TFD 态杂乱度的问题还依然处在火热评论之中。

四、结束语

尽管“杂乱度”这个概念正在招引越来越多来自引力理论和量子场论范畴的研讨人员的爱好，可是将杂乱度的概念运用到黑洞和量子场论中来也面临着许多妨碍。不同于在量子体系乃至是无量维量子场论中界说杰出的羁绊熵，杂乱度在量子场论框架下的界说依然存在许多不清楚的当地。这也导致经过全息对偶核算得到的杂乱度的物理意义并不十分明确。在使用AdS/CFT对偶核算杂乱度时，CV猜测和CA猜测得到的定论并不彻底一致，现在尚无法判别哪一个猜测更为正确。相关的研讨也标明，CA猜测得到的杂乱度的增加率能够违反量子信息理论中杂乱度增加率的上限。

不过这些缺乏不只没有使人们在研讨黑洞的时分抛弃“杂乱度”这个概念，反而激发了人们对其进一步研讨和改善。在最近的研讨中，“杂乱度”被运用到愈加广泛的范畴。比方布朗等人发现杂乱度在一般体系中也会满意一个相似“热力学第二规律”的规律[13]。迈尔斯等人则提出了一个杂乱度版别的“榜首规律”[14]。经过将杂乱度和张量网络相结合，人们发现在某些特别情况下杂乱度与时空以及引力的动力学有着千丝万缕的联络[15]。在经过几许化办法研讨共形场论中的杂乱度时，研讨人员发现共形场论中的杂乱度等价于二维引力的Polyakov作用量[16]。现在杂乱度成为了黑洞物理、引力理论和量子场论研讨等范畴一个活泼的研讨课题。

杂乱度作为高能物理中的新概念，或许现在对其在了解量子引力和时空来源中所扮演的人物作出定论还为时尚早。可是它为从量子核算和量子信息的视点去了解时空的来源供给了新的视角，它或许能够成为了解时空来源和黑洞量子性质的一把新钥匙。

后 记

文小刚

It from bit 的原始意思是万物来源于比特。这篇文章把 It 解释为时空，评论了时空是不是也能来源于比特？现实上，咱们发现时空不能来源于比特。但最近十几年的理论物理研讨激烈地暗示着，时空或许来源于量子比特，而时空接连的幻象或许来源于量子比特之间的羁绊。这便是咱们为什么需求量子比特，由于经典比特没有量子羁绊。许多时空的几许概念，如面积、测地线等等，都有其量子羁绊的对应。

咱们的时空是有其特定的动力学性质的。它的歪曲所构成的波应当满意爱因斯坦的动摇方程。但咱们关于时空动力学性质的了解还有短缺，现在还找不任何一个（有杰出界说的）量子模型能给出满意爱因斯坦动摇方程的引力波。这便是理论物理中有名的量子引力问题——即便有名的超弦理论也没有处理这个问题。由于有的超弦理论没有杰出的非微扰界说，别的一些理论尽管能给出引力波，但还要加上其他许多波。它们给不出咱们所了解的时空，其歪曲只包含引力波和电磁波。

和电磁波相似，引力波也只要两个横波形式，而没有纵波形式。不同的是，电磁波的两个横波形式是两个矢量型的偏振形式，而引力波的两个横波形式是两个张量型的偏振形式。咱们能不能找到一个量子模型，它能给出有两个张量偏振的引力波和两个矢量偏振的电磁波，而不顺便其它咱们时空中没有的波。这便是咱们需求处理的量子引力问题。

近二十年，凝聚态物理的研讨在这方面给出了一些发展。首要，经过对高温超导体的研讨，咱们找到了量子比特模型（弦网模型），它能给出有两个矢量偏振的电磁波，而不顺便其它的波。后来许岑珂有了一个突破性的发现， 他结构了一个量子比特模型，能给出有两个张量偏振和一个纵模的波。我和顾正澄又找到一个改善的量子比特模型，能给出只要两个张量偏振的波。这现已和引力波很接近了，但咱们模型中得到的这个波，不像引力波那样具有一个固定不变的速度，咱们的波速度跟其频率的平方成正比。这导致它不满意爱因斯坦的引力方程，而是满意 Lifshitz 引力方程。所以量子引力仍是一个没有彻底处理的问题。

（左）许岑珂（右）顾正澄

回到 It from bit 的本意：万物来源于比特。那构成万物的根本粒子，如电子、夸克、光子等等，究竟能不能来源于比特？答案是不能够。但万物，以及这些根本粒子，能够来源于量子比特。比方经过上面说到的量子弦网模型，咱们发现羁绊的量子比特能够发生只要两个矢量偏振的电磁波（其对应于光子）。电子、夸克这些对应于物质的根本粒子也能来源于量子比特。其实上面讲的弦网的密度波对应于光波，而弦的端点正好对应于电子、夸克这些物质粒子。除了引力子，咱们发现万物（即组成万物的根本粒子）确实能够来源于量子比特。（详见《返朴》文章“拓扑序：看世界的一种新视角”）。

作者介绍：

蔡荣根：中国科学院理论物理所研讨员。研讨范畴为黑洞物理，引力理论和世界学。宣布文章260余篇，合计引证15000余次。

阮善明：加拿大圆周理论物理研讨所博士研讨生在读，师从闻名学者Robert Myers教授。中科院理论物理研讨所硕士结业，现在研讨爱好为场论中的杂乱度界说和杂乱度与时空几许的联络。宣布多篇重要工作。

杨润秋：韩国高级研讨院博士后，中国科学院理论物理研讨所博士结业。现在研讨爱好和方向是场论杂乱度界说和全息杂乱度，在相关范畴宣布多篇有影响力的文章。

参考文献

[1] J. A. Wheeler, Information, physics, quantum: the search for links, in Complexity, entropy, and the physics of information (W. Zurek, ed.), pp. 309–336, Westview Press, 1990；

[2] “It From Qubit”, Simons Collaboration on Quantum Fields, Gravity and Information. Project Introduction (https://putation, Nature (London) 406(2000) 1047；

[5] M. A. Nielsen, M. R. Dowling, M. Gu and A. C. Doherty, Quantum computation as geometry, Science 311 (2006) 1133-1135；

[6]Jefferson, Robert A., and Robert C. Myers. "Circuit complexity in quantum field theory." Journal of High Energy Physics 2017.10 (2017): 107.

[7] Susskind, Leonard. "Entanglement is not enough." Fortschritte der Physik 64.1 (2016): 49-71.

[8] 羁绊熵自身仅仅羁绊这样一个量子概念的一种衡量办法，更严格地说这儿仅仅着重了 “entanglement entropy is not enough”；

[9] L. Susskind, Computational Complexity and Black Hole Horizons, Fortsch.Phys. 64 (2016) 44–48；

[10] A. R. Brown, D. A. Roberts, L. Susskind, B. Swingle and Y. Zhao,Holographic Complexity Equals Bulk Action?, Phys. Rev. Lett. 116 (2016)191301；

[11] Juan Martin Maldacena, “Eternal black holes in anti-de Sitter,” JHEP 04, 021 (2003)

[12] Lehner, Luis, Robert C. Myers, Eric Poisson, and Rafael D. Sorkin. "Gravitational action with null boundaries." Physical Review D 94, no. 8 (2016): 084046.

[13] A. R. Brown and L. Susskind,“Second law of quantum complexity,”Phys. Rev. D 97，no. 8, 086015 (2018)；

[14]A. Bernamonti, F. Galli, J. Hernandez, R. C. Myers, S.-M. Ruan, and J. Simon, “First law of holographic complexity,” Phys. Rev. Lett. 123 (Aug, 2019) 081601.

[15] B. Czech, “Einstein Equations from Varying Complexity,” Phys. Rev. Lett. 120, no. 3, 031601 (2018)；

[16] Caputa, Pawe , and Javier M. Magan. "Quantum computation as gravity." Physical Review Letters 122, no. 23 (2019): 231302.

本文经授权转载自微信大众号“中国科学院理论物理研讨所”。

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